Solutions
III.2.14. On suppose d’abord que α 1. On a alors, pour n suffisamment
grand,
1
r α
n−1
1
r n−1
.
La divergence de la série se déduit alors de la partie (a) du problème précédent.
On suppose maintenant que α < 1. Il existe alors un entier p strictement
positif tel que α < 1 −
1
p . Donc,
a n
r α
n−1
<
a n
(r n−1 )
1−
1
p
=
r n−1 − r n
r n−1
r
1
p
n−1 .
En appliquant l’inégalité 1 − x p p(1 − x) vérifiée pour 0 < x 1 à
x =
rn
r n−1
1
p , on obtient
a n
r α
n−1
p
r
1
p
n−1 − r
1
p
n
.
La convergence de la série se déduit alors du critère de Cauchy.
III.2.15. Pour 0 < α < 1, on a
lim
n→+∞
a n+1 ln
2 r n
a n+1
r α
n
= 0.
La convergence de la série
+∞
n=1
a n+1 ln
2 r n se déduit donc du problème
précédent.
III.2.16. On sait (voir, par exemple, le problème II.1.38) que
1 +
1
n
n
< e <
1 +
1
n
n+1
.
(∗)
Supposons que g > 1. Soit ε > 0 suffisamment petit pour que g − ε > 1. Il
existe alors n 0 tel que n ln
an
a n+1
> g − ε pour n n 0 . Donc, d’après (∗),
n ln
a n
a n+1
> g − ε > n ln
1 +
1
n
et, en conséquence,
a n+1
a n
<
1
(n+1) g−ε
1
n g−ε
.
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