Chapitre III. Séries de nombres réels
Ceci se déduit de l’inégalité facilement démontrable 1 − x p p(1 − x) qui est
vérifiée pour 0 < x 1. Il suffit de poser x =
S n−1
Sn
1
p . Donc (voir la solution
du problème précédent), la convergence de la série est établie pour β > 0.
III.2.12. On suppose d’abord que α > 1. On a alors, pour n 2,
a n
S α
n
a n
S n S
α−1
n−1
.
La convergence se déduit donc du problème précédent. On suppose maintenant
que α 1. On a alors
an
S α
n
an
Sn pour n suffisamment grand, ce qui, d’après le
problème III.2.10, implique la divergence de la série pour α 1.
III.2.13.
(a) Par hypothèse, la suite {r n } est décroissante et tend vers 0. De plus,
a n
r n−1
=
r n−1 − r n
r n−1
.
Donc, pour tous entiers n et p strictement positifs, on a
a n+1
r n
+ . . . +
a n+p
r n+p−1
=
r n − r n+1
r n
+ . . . +
r n+p−1 − r n+p
r n+p−1
>
r n − r n+p
r n
= 1 −
r n+p
r n
.
Pour n fixé, on a lim
p→+∞
1 −
r n+p
rn
= 1. La divergence de la série se
déduit donc du critère de Cauchy.
(b) On a
a n
√
r n−1
=
r n−1 − r n
√ r n−1
=
√ r n−1 −
√ r n
√
r n−1 +
√
r n
√ r n−1
< 2 (
√
r n−1 −
√
r n ) .
On montre, en appliquant cette inégalité, que la suite des sommes partielles de la série
+∞
n=2
an
√ r n−1
est une suite de Cauchy. Elle converge donc.
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