Solutions
III.2.10. Pour des entiers n et p strictement positifs, on a
a n+1
S n+1
+
a n+2
S n+2
+ . . . +
a n+p
S n+p
n+p
k=n+1
a k
S n+p
=
S n+p − S n
S n+p
.
Puisque lim
p→+∞
S n+p −Sn
S n+p
= 1, la suite des sommes partielles n’est pas une suite
de Cauchy et la série considérée diverge donc.
D’autre part,
a n
S 2
n
a n
S n S n−1
=
S n − S n−1
S n S n−1
=
1
S n−1
−
1
S n
,
d’où
n+p
k=n+1
a k
S 2
k
n+p
k=n+1
1
S k−1
−
1
S k
=
1
S n
−
1
S n+p
<
1
S n
.
La série
+∞
n=1
an
S 2
n
converge donc d’après le critère de Cauchy.
III.2.11. On a
a n
S n S
β
n−1
=
S n − S n−1
S n S
β
n−1
.
Soit p un entier strictement positif tel que
1
p < β. Pour n suffisamment grand,
l’inégalité
a n
S n S
β
n−1
<
a n
S n S
1
p
n−1
est alors vérifiée. Il suffit donc d’établir la convergence de la série de terme
général
an
SnS
1
p
n−1
. Pour cela, on montre que l’inégalité
S n − S n−1
S n S
1
p
n−1
p
⎛
⎝ 1
S
1
p
n−1
−
1
S
1
p
n
⎞
⎠
est vérifiée. Cette dernière inégalité est équivalente à
1 −
S n−1
S n
p
⎛
⎝ 1 −
S
1
p
n−1
S
1
p
n
⎞
⎠ .
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