Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.9.
(a) On remarque d’abord que si la suite {a n } est majorée par M > 0, alors
a n
1 + a n
a n
1 + M
.
La série
+∞
n=1
an
1+an est donc divergente. D’autre part, si la suite {a n } n’est
pas majorée, il existe alors une sous-suite {a n k } tendant vers +∞. Donc,
lim
k→+∞
a n k
1 + a n k
= 1
et la condition nécessaire de convergence n’est pas vérifiée.
(b) La série
+∞
n=1
an
1+nan peut converger ou diverger. Pour le montrer, considérons l’exemple suivant :
a n =
⎧
⎨
⎩
1 si n = m 2 , m ∈ N ∗ ,
1
n 2 sinon.
La série
+∞
n=1
a n diverge. De plus, on a
n
k=1
a k
1 + ka k
<
n
k=1
1
1 + k 2 +
n
k=1
1
k + k 2 2
n
k=1
1
1 + k 2 .
La série
+∞
n=1
an
1+nan converge donc dans ce cas. En revanche, si on prend
a n =
1
n , on voit que les deux séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
an
1+nan peuvent diverger.
(c) La convergence de la série en question se déduit de l’inégalité
a n
1 + n 2 a n
a n
n 2 a n
=
1
n 2 .
(d) Si la suite est majorée par M , alors
a n
1 + a 2
n
a n
1 + M 2 .
Dans ce cas, la série est divergente. Mais, si par exemple a n = n 2 , alors
la série
+∞
n=1
an
1+a 2
n
converge.
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