Solutions
III.2.7.
(a) La convergence de la série
+∞
n=1
− ln
cos
1
n
se déduit du fait que
lim
n→+∞
− ln
cos
1
n
1
2n 2
= 1.
(b) Si c = 0, alors
lim
n→+∞
e
a ln n+b
c ln n+d = e
a
c = 0.
La série donnée est donc divergente. Si c = 0 et
a
d 0, alors la condition
de convergence lim a n = 0 n’est pas vérifiée. Si c = 0 et
a
d < 0, alors
e
a ln n+b
d
= e
b
d e
a
d
ln n
= e
b
d n
a
d .
Dans ce cas, notre série converge donc si
a
d < −1 et diverge si
a
d 1.
(c) On a
n 2n
(n + a)
n+b
(n + b)
n+a
=
1
(n + a)
b 1 +
a
n
n (n + b)
a 1 +
b
n
n .
La série converge donc si et seulement si
+∞
n=1
1
n a+b converge.
III.2.8. La convergence de la série
+∞
n=1
√ a n a n+1 est une conséquence immédiate de l’inégalité
√ a n a n+1
1
2 (a n + a n+1 ). De plus, si la suite {a n } est
décroissante, alors
√
a n a n+1 a n+1 . La convergence de la série
+∞
n=1
a n se déduit donc de celle de la série
+∞
n=1
√ a n a n+1 .
On considère maintenant la suite {a n } définie par
a n =
⎧
⎨
⎩
1
si n est impair,
1
n 4 si n pair.
On a alors
n
k=1
√ a k a k+1 <
2n
k=1
√ a k a k+1 =
1
4
n
k=1
1
k 2 .
La série
+∞
n=1
√
a n a n+1 converge donc alors que la série
+∞
n=1
a n diverge.
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