Chapitre III. Séries de nombres réels
Ceci implique que la série donnée est divergente pour 0 < α 1. On
remarque aussi que, pour α 0, la condition nécessaire pour que la série
converge, lim a n = 0, n’est pas vérifiée. Pour α > 1, d’après le problème II.5.5, la série converge si et seulement si la série
+∞
n=1
ln n
n
α
converge. La convergence de cette dernière série se déduit du problème III.2.3, car pour n suffisamment grand, on a
a n+1
a n
=
n ln(n + 1)
(n + 1) ln n
α
2
α
n
n + 1
α
.
(c) D’après II.5.5, la série donnée converge si et seulement si la série
+∞
n=1
ln
1 +
1
n
n+1
e
α
converge. Avec l’inégalité
2x
2+x < ln(1 + x) < x, vérifiée pour x > 0 (voir
le problème II.5.3), on obtient
ln
1 +
1
n
n+1
− 1
α
<
1
n α pour α > 1
et
ln
1 +
1
n
n+1
− 1
α
>
1
(2n + 1)
α
pour 0 < α 1.
La série donnée est donc convergente pour α > 1 et divergente pour
0 < α 1. De plus, on remarque que pour α 0, la condition nécessaire
pour que la série soit convergente n’est pas vérifiée.
(d) On vérifie facilement que
lim
n→+∞
1 − n sin
1
n
1
n 2
=
1
6
.
La série donnée est donc convergente si et seulement si la série
+∞
n=1
1
n 2α
converge. Notre série est donc convergente pour α >
1
2 et divergente pour
α
1
2 .
III.2.6. D’après le problème II.5.5, on obtient lim
n→+∞
an ln a
a an −1 = 1 et notre
série converge donc si et seulement si la série
+∞
n=1
a n converge.
256
Ceci implique que la série donnée est divergente pour 0 < α 1. On
remarque aussi que, pour α 0, la condition nécessaire pour que la série
converge, lim a n = 0, n’est pas vérifiée. Pour α > 1, d’après le problème II.5.5, la série converge si et seulement si la série
+∞
n=1
ln n
n
α
converge. La convergence de cette dernière série se déduit du problème III.2.3, car pour n suffisamment grand, on a
a n+1
a n
=
n ln(n + 1)
(n + 1) ln n
α
2
α
n
n + 1
α
.
(c) D’après II.5.5, la série donnée converge si et seulement si la série
+∞
n=1
ln
1 +
1
n
n+1
e
α
converge. Avec l’inégalité
2x
2+x < ln(1 + x) < x, vérifiée pour x > 0 (voir
le problème II.5.3), on obtient
ln
1 +
1
n
n+1
− 1
α
<
1
n α pour α > 1
et
ln
1 +
1
n
n+1
− 1
α
>
1
(2n + 1)
α
pour 0 < α 1.
La série donnée est donc convergente pour α > 1 et divergente pour
0 < α 1. De plus, on remarque que pour α 0, la condition nécessaire
pour que la série soit convergente n’est pas vérifiée.
(d) On vérifie facilement que
lim
n→+∞
1 − n sin
1
n
1
n 2
=
1
6
.
La série donnée est donc convergente si et seulement si la série
+∞
n=1
1
n 2α
converge. Notre série est donc convergente pour α >
1
2 et divergente pour
α
1
2 .
III.2.6. D’après le problème II.5.5, on obtient lim
n→+∞
an ln a
a an −1 = 1 et notre
série converge donc si et seulement si la série
+∞
n=1
a n converge.
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