Solutions
III.2.3. On pose c n =
an
bn . Par hypothèse,
c n+1 =
a n+1
b n+1
a n
b n
= c n pour n n 0 .
La suite {c n } est donc décroissante pour n n 0 . Ceci implique que la suite
est bornée, autrement dit, qu’il existe C > 0 tel que 0 < c n < C pour n ∈ N ∗ .
D’où,
+∞
n=1
a n =
+∞
n=1
c n b n < C
+∞
n=1
b n , ce qui complète la démonstration de la
proposition.
III.2.4.
(a) D’après le problème II.1.38, on a
a n+1
a n
=
1 +
1
n
n−2
e
<
n
n + 1
2
=
1
(n+1)
2
1
n 2
.
La convergence de la série se déduit alors du test de convergence donné
au problème précédent.
(b) De même, d’après II.1.38, on a
a n+1
a n
=
1 +
1
n
n
e
>
1 +
1
n
n
1 +
1
n
n+1 =
1
n+1
1
n
.
Si la série donnée était convergente, d’après le problème III.2.3, la
série
+∞
n=1
1
n le serait aussi. La série donnée est donc divergente.
III.2.5.
(a) D’après le problème II.5.4 (a), les séries
+∞
n=1
(
n
√
a − 1)
α et
+∞
n=1
1
n α
convergent ou divergent en même temps. La série donnée converge donc
pour α > 1 et diverge pour α 1.
(b) La solution du problème II.5.4 (b) implique ln n < n (
n
√
n − 1). Donc,
pour n > 3 et α > 0, on a
1
n α <
ln n
n
α
<
n
√
n − 1
α .
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