Chapitre III. Séries de nombres réels
(c) On peut vérifier par récurrence que
(2n − 3)!!
(2n − 2)!!
>
1
2n − 1
pour n > 2.
D’après le test de comparaison, la série est divergente.
(d) La série est convergente car lim
n→+∞
n
√
a n =
1
e .
(e) 1 − cos
1
n = 2 sin
2 1
2n <
1
2n 2 et la série est donc convergente.
(f) lim
n→+∞
n
√ a n = 0, ce qui montre la convergence de la série.
(g) D’après le problème II.5.4 (a), on a
lim
n→+∞
n
√ a − 1
1
n
= ln a
et la série est donc divergente.
III.2.2.
(a) La série converge car
1
n ln
1 +
1
n
<
1
n 2 .
(b) La convergence de la série se déduit de l’inégalité
1
√
n
ln
n + 1
n − 1
<
2
√
n(n − 1)
pour n > 1.
(c) En utilisant l’inégalité ln n < n, on obtient
1
n 2 −ln n
<
1
n(n−1) . La série est
donc convergente.
(d) On a
1
(ln n)
ln n
=
1
n ln ln n .
La série est donc convergente.
(e) En appliquant des méthodes du calcul différentiel, on peut prouver l’inégalité (ln ln x)
2 < ln x pour x suffisamment grand. Donc,
1
(ln n)
ln ln n
=
1
e (ln ln n)
2 >
1
n
pour n suffisamment grand. Ceci prouve la divergence de la série.
254