Solutions
On note que
2
s β(N )
N
n=1
δ n
2 n
n!
= 2
s
N
n=1
δ n
β(N )2 n
2 α(n) β(n)
.
Puisque β(n) divise β(N ), on voit que le premier terme dans le second
membre de (∗) est un entier. Pour obtenir une contradiction, on montre que
0 < 2 s β(N )
+∞
n=N +1
δ n
2 n
n! < 1. En effet,
2
s β(N )
+∞
n=N +1
δ n
2 n
n!
= 2
s−N +1 N !
+∞
n=N +1
δ n
2 n
n!
= 2
s+2
+∞
n=N +1
δ n 2
n−N N !
n!
<
2 s+2
N + 1
+∞
n=N +1
2
N + 2
n−N −1
=
2 s+2
N + 1
·
N + 2
N
<
2 s+3
N + 1
< 1.
III.2. Séries à termes positifs
III.2.1.
(a) On a
a n =
n 2 + 1 −
3
n 3 + 1
=
1
√
n 2 + 1 +
3
√
n 3 + 1
×
3n 4 − 2n 3 + 3n 2
(n 2 + 1) 2 + (n 2 + 1)
3
(n 3 + 1) 2 + (n 3 + 1)
3
√
n 3 + 1
·
Et,
lim
n→+∞
a n
1
n
=
1
2
.
D’après le test de comparaison, la série diverge.
(b) lim
n→+∞
n
√
a n = lim
n→+∞
1 −
n
n 2 +n+1
n =
1
e et, d’après le test de la racine
de Cauchy, la série converge.
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