Chapitre III. Séries de nombres réels
III.1.47. Puisque la série
+∞
n=1
pn
qn converge, lim
n→+∞
pn
qn−1 = 0. Il s’ensuit que
pm
qm−1
+∞
n=m
pn
qn . Supposons que l’ensemble A soit fini. Il existe alors un indice
m tel que
S =
+∞
n=1
p n
q n
=
m−1
n=1
p n
q n
+
p m
q m − 1
.
S est donc rationnel. Supposons maintenant que S =
+∞
n=1
pn
qn =
p
q ∈ Q. On a
alors
r n =
p
q
−
n
k=1
p k
q k
=
+∞
k=n+1
p k
q k
p n+1
q n+1 − 1
.
En multipliant cette inégalité par b n = qq 1 · · · q n , on obtient
b n+1 r n+1 = b n r n q n+1 − qq 1 · · · q n+1
p n+1
q n+1
b n r n q n+1 − b n r n (q n+1 − 1) = b n r n .
Ceci signifie que la suite {b n r n } d’entiers positifs est décroissante et tous ses
termes sont donc égaux à partir d’une certaine valeur de l’indice n, ce qui
implique que l’ensemble A est fini.
III.1.48. On peut écrire n! = 2 α(n) β(n) où β(n) est impair. Plus précisément, un théorème de Legendre affirme que α(n) = n − ν(n), où ν(n) est la
somme des 1 apparaissant dans l’écriture binaire de n. De plus, on a
+∞
k=1
2 n k
n k ! =
+∞
n=1
δ n
2 n
n! , où δ n = 1 si n = n k et 0 autrement. Supposons que
+∞
n=1
δ n
2 n
n! =
p
q ,
p, q ∈ N ∗ . On écrit q = 2 s t avec t impair et on prend N = 2 r > max
t, 2 s+2
.
Il s’ensuit que
β(N )
t
∈ N ∗ . Donc, 2 s β(N )
p
q =
β(N )
t p ∈ N ∗ . Un calcul simple
montre que N ! = 2 N −1 β(N ) (ce qui peut se retrouver directement à partir du
théorème de Legendre). En multipliant l’égalité
p
q
=
N
n=1
δ n
2 n
n!
+
+∞
n=N +1
δ n
2 n
n!
par 2 s β(N ), on obtient
2
s β(N )
p
q
= 2
s β(N )
N
n=1
δ n
2 n
n!
+ 2
s β(N )
+∞
n=N +1
δ n
2 n
n!
.
(∗)
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