Chapitre III. Séries de nombres réels
La série
+∞
n=1
a n est donc convergente d’après le test prouvé au problème III.2.3. Des arguments semblables s’appliquent au cas g = +∞ et
on peut utiliser le même raisonnement pour prouver la divergence de la série
si g < 1.
Les exemples suivants montrent que le test ne permet pas de conclure si
g = 1. En prenant a n =
1
n , on voit que g = 1 et
+∞
n=1
1
n diverge.
D’autre part, en posant a n =
1
n ln
2 n
, on obtient la série convergente
+∞
n=1
a n
(voir le problème III.2.29). Pour montrer que dans ce cas g = 1, on observe
d’abord que
n ln
1
n ln
2 n
1
(n+1) ln
2 (n+1)
= ln
1 +
1
n
n
+ 2n ln
ln(n + 1)
ln n
.
Comme le premier terme de la somme tend vers 1, il suffit donc de montrer
que lim
n→+∞
2n
ln(n+1)
ln n
= 0. Pour cela, on remarque que
lim
n→+∞
ln(n + 1)
ln n
n
= lim
n→+∞
1 +
ln
n+1
n
ln n
n
= e
0
= 1.
III.2.17.
(a) On a
lim
n→+∞
n ln
a n
a n+1
= lim
n→+∞
n
√
n + 1 −
√
n
ln 2 = +∞.
La convergence de la série se déduit donc du problème précédent.
(b) De même,
lim
n→+∞
n ln
a n
a n+1
= lim
n→+∞
ln
1 +
1
n
n
ln 2 = ln 2 < 1
et la série diverge.
(c) De même
lim
n→+∞
n ln
a n
a n+1
= ln 3 > 1,
ce qui montre que la série converge.
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