Solutions
D’autre part, d’après III.1.32 (a), on a
− ln 2 = lim
N →+∞
3N
n=1
(−1)
n 1
n
= lim
N →+∞
N
n=1
(−1)
n 1
n
− lim
N →+∞
N −1
n=0
(−1)
n
1
3n + 1
−
1
3n + 2
= −
1
3
ln 2 − lim
N →+∞
N −1
n=0
(−1)
n
1
3n + 1
−
1
3n + 2
.
Ceci implique
lim
N →+∞
N −1
n=0
(−1)
n
1
3n+1 −
1
3n+2
=
2
3 ln 2. Finalement,
d’après (∗), lim
N →+∞
S 2N =
1
6 −
1
3 ln 2 +
1
3 +
1
3 ln 2 −
1
4 =
1
4 . De plus, puisque
lim
N →+∞
S 2N +1 = lim
N →+∞
S 2N + lim
N →+∞
(−1)
N+1
(3N +4)
2 −1
= lim
N →+∞
S 2N , la somme de la
série est donc égale à
1
4 .
III.1.41.
(a) On suppose que la somme S de la série est un nombre rationnel
p
q . On a
alors (q − 1)!p = q!S =
q
n=1
q!
n! +
+∞
n=q+1
q!
n! . Ceci implique que
+∞
n=q+1
q!
n! est
un nombre entier. Mais on a aussi
0 <
+∞
n=q+1
q!
n!
1
q + 1
+
1
(q + 1)(q + 2)
+
1
(q + 1) (q + 2)
2 + . . .
=
q + 2
(q + 1)
2
3
4
,
contradiction. La somme S est donc irrationnelle.
(b) On peut appliquer la même méthode qu’en (a).
III.1.42. On suppose que la somme S de la série est un nombre rationnel
p
q .
On a alors
(q − 1)!p = q!S =
q
n=1
q!ε n
n!
+
+∞
n=q+1
q!ε n
n!
.
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