Chapitre III. Séries de nombres réels
Ceci implique que
+∞
n=q+1
q!εn
n! est un nombre entier. Mais on a aussi
+∞
n=q+1
q!ε n
n!
+∞
n=q+1
q!
n!
< 1.
Il suffit, pour obtenir une contradiction, de prouver que
+∞
n=q+1
q!εn
n! n’est pas
nul. On a
+∞
n=q+1
q!ε n
n!
1
q + 1
−
+∞
n=q+2
q!
n!
>
1
q + 1
−
1
q(q + 1)
0,
ce qui prouve que S est irrationnelle.
III.1.43. On peut appliquer un raisonnement semblable à celui du problème
précédent.
III.1.44. Supposons que
+∞
i=1
1
n i
=
p
q , p, q ∈ N ∗ . Par hypothèse, il existe un
entier positif k tel que
n i
n 1 n 2 ···n i−1
> 3q si i k. Donc,
k−1
i=1
n 1 n 2 · · · n k−1 q
n i
+
+∞
i=k
n 1 n 2 · · · n k−1 q
n i
= pn 1 n 2 · · · n k−1 .
De plus,
+∞
i=k
n 1 n 2 · · · n k−1 q
n i
<
1
3
1 +
1
n k
+
1
n k n k+1
+ . . .
< 1,
contradiction.
III.1.45. Si la somme est un nombre rationnel
p
q , on a alors, pour tout entier positif k 1 ,
+∞
k=k 1
1
n k
=
p
q −
k 1 −1
k=1
1
n k
. La somme
+∞
k=k 1
qn 1 n 2 ···n k 1 −1
n k
est donc un
nombre entier et on a
+∞
k=k 1
1
n k
1
qn 1 n 2 · · · n k 1 −1
.
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