Chapitre III. Séries de nombres réels
série converge. On sait, d’après le problème II.1.41, que la suite a n =
1 +
1
2 + . . . +
1
nk − ln(nk) converge vers la constante d’Euler. Donc,
S N (k − 1) = a N + ln(Nk) −
N
n=1
1
nk
−
N
n=1
k − 1
nk
= a N + ln k +
ln N −
N
n=1
1
n
.
Ceci implique lim
N →+∞
S N (k − 1) = γ + ln k − γ = ln k. La série converge donc
pour x = k − 1 et sa somme est alors égale à ln k.
III.1.40. On peut facilement vérifier par récurrence que
a 2n = 3n + 2 pour n ∈ N,
a 2n−1 = 3n + 1 pour n ∈ N
∗ .
Donc,
S 2N =
2N
n=0
(−1) [
n+1
2 ] 1
a 2
n − 1
=
N
n=0
(−1)
n
a 2
2n − 1
+
N
n=1
(−1)
n
a 2
2n−1 − 1
=
N
n=0
(−1)
n
1
(3n + 1)(3n + 3)
+
N
n=1
(−1)
n
1
3n(3n + 2)
=
1
3
+
1
2
N
n=1
(−1)
n
1
3n + 1
−
1
3n + 3
+
1
2
N
n=1
(−1)
n
1
3n
−
1
3n + 2
=
1
3
+
1
2
N
n=1
(−1)
n
1
3n
−
1
3n + 3
+
1
2
N
n=1
(−1)
n
1
3n + 1
−
1
3n + 2
=
1
3
−
1
6
+
N
n=2
(−1)
n
3n
+
(−1) N +1
6(N + 1)
+
1
2
N
n=1
(−1)
n
1
3n + 1
−
1
3n + 2
.
(∗)
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