Solutions
Donc,
lim
n→+∞
S 2n = lim
n→+∞
−
ln 1
1
+
ln 2
2
− . . . +
ln 2n
2n
= lim
n→+∞
−
ln 1
1
+
ln 2
2
+ . . . +
ln 2n
2n
−
(ln 2n) 2
2
+2
ln 2
2
+
ln 4
4
+ . . . +
ln 2n
2n
−
(ln 2n) 2
2
= −s + lim
n→+∞
ln 1
1
+
ln 2
2
+ . . . +
ln n
n
−
(ln n) 2
2
+ lim
n→+∞
ln 2
1
+
ln 2
2
+ . . . +
ln 2
n
− ln 2 ln n
−
(ln 2) 2
2
= ln 2
γ −
ln 2
2
,
où γ est la constante d’Euler (voir II.1.41).
III.1.38. D’après la formule de Stirling, n! = α n
√
2πn
n
e
n , où
lim
n→+∞
α n = 1. Donc,
S n =
1
2
ln
(2n + 1)
2n
((2n − 1)!!)
2 e 2n
=
1
2
ln
(2n + 1)
2n
2 2n (n!)
2
((2n)!)
2 e 2n
=
1
2
ln
(2n + 1)
2n
2 2n α 2
n 2πn
n
e
2n
α 2
2n 4πn
2n
e
4n e 2n
=
1
2
ln
2n + 1
2n
2n α 2
n
2α 2
2n
.
D’où lim
n→+∞
S n =
1
2 (1 − ln 2).
III.1.39. On suppose que la série converge pour x et pour y et on écrit
S N (x) =
N
n=1
1
(n − 1)k + 1
+
1
(n − 1)k + 2
+ . . . +
1
nk − 1
−
x
nk
.
On a alors S N (x) − S N (y) =
y−x
k
N
n=1
1
n . La convergence de la série implique
donc x = y. On trouve maintenant l’unique valeur de x pour laquelle la
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