Chapitre III. Séries de nombres réels
III.1.35. La n-ième somme partielle de la série peut s’écrire sous la forme
S n = 1 +
1
2
+ . . . +
1
n
− (ln 2 − ln 1 + ln 3 − ln 2 + . . . + ln(n + 1) − ln n)
= 1 +
1
2
+ . . . +
1
n
− ln(n + 1).
Donc, d’après le problème II.1.41, la somme de cette série est égale à la
constante d’Euler γ.
III.1.36. [20]. On pose F (x) =
x
1 f (t) dt. D’après le théorème de Taylor, il
existe x k , y k tels que k < x k < k +
1
2 , k +
1
2 < y k < k + 1 et
F
k +
1
2
− F (k) =
1
2
f (k) +
1
8
f
(x k ),
−F
k +
1
2
+ F (k + 1) =
1
2
f (k + 1) −
1
8
f
(y k ).
En additionnant ces égalités pour k variant de 1 à n − 1, on obtient
1
2
f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f (n − 1) +
1
2
f (n) − F (n)
=
1
8
f
(y 1 ) − f
(x 1 ) + f
(y 2 ) − f
(x 2 ) + . . . + f
(y n−1 ) − f
(x n−1 )
.
La limite de l’expression dans le second membre de cette égalité existe car la
série −f (x 1 ) + f (y 1 ) − f (x 2 ) + f (y 2 ) − . . . est convergente (les termes sont
de signes alternés et leur valeur absolue décroît de façon monotone vers 0).
Si on prend f (x) =
1
x , on peut alors prouver l’existence de la limite
lim
n→+∞
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
n
− ln n
(comparez avec II.1.41 (a)). En prenant f (x) = ln x, on peut montrer que
la suite
ln n! −
n +
1
2
ln n + n
converge (d’après la formule de Stirling, sa
limite est ln
√ 2π).
III.1.37. En appliquant le problème précédent à la fonction f (x) =
ln x
x
(x > 0), on peut montrer l’existence de la limite
lim
n→+∞
ln 1
1
+
ln 2
2
+ . . . +
ln n
n
−
(ln n) 2
2
= s.
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