Solutions
On a donc, avec l’inégalité
1
x >
1
tan x pour 0 < x < π/2,
m < tan
π
2m
m
2
+
1
π
4m
3π
4m
+ . . . +
1
(2m−3)π
4m
(2m−1)π
4m
.
(3)
On a aussi
cotan α − cotan β =
sin(β − α)
sin α sin β
et, comme précédemment, on obtient, en utilisant l’inégalité
1
x <
1
sin x ,
m = sin
π
2m
1
sin
π
4m sin
3π
4m
+ . . . +
1
sin
(2m−3)π
4m
sin
(2m−1)π
4m
> sin
π
2m
1
π
4m
3π
4m
+ . . . +
1
(2m−3)π
4m
(2m−1)π
4m
.
Ceci et (3) donnent
m
tan
π
2m
−
m
2
π 2
16m 2 <
1
2 × 3
+ . . .+
1
(2m − 3)(2m − 1)
<
π 2
16m sin
π
2m
.
En faisant tendre m vers +∞, on obtient alors
1
2 × 3
+
1
5 × 7
+ . . . =
1
2
+∞
m=0
(−1)
m
1
2m + 1
=
π
8
.
III.1.29. On a a n+1 − 1 = a n (a n − 1). Donc,
1
a n+1 −1 = −
1
an +
1
an−1 . En
additionnant ces égalités pour n allant de 1 à N , on obtient
1
a 1
+
1
a 2
+ . . . +
1
a N
= 1 −
1
a N +1 − 1
.
(∗)
On vérifie facilement que la suite {a n } croît et diverge vers +∞. Donc, (∗)
implique
+∞
n=1
1
an = 1.
III.1.30. Par définition de la suite, on a
e
a 1 − 1 = a 1 e
a 2 ,
e
a 2 − 1 = a 2 e
a 3 ,
. . .
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