Chapitre III. Séries de nombres réels
Donc,
e
a 1 − 1 = a 1 + a 1 a 2 e
a 3
= . . . = a 1 + a 1 a 2 + . . . + a 1 · · · a n + a 1 · · · a n+1 e
a n+2 .
Ceci implique
+∞
n=1
b n = e a 1 − 1 car
lim
n→+∞
(a 1 · · · a n+1 e
a n+2 ) = 0.
En effet, {a n } est minorée par 0, est décroissante et converge vers 0.
III.1.31. On a S n+1 = S n + a n+1 = S n +
1
Sn −
√ 2. On considère la fonction
f (x) = x +
1
x −
√ 2 pour x > 0. Si la suite {S n } converge vers S, on a alors
f (S) = S. La seule solution de cette équation est
1
√ 2
. De plus, la fonction
x → f (f (x)) − x est décroissante sur l’intervalle
1
√ 2
, 1
. Donc, si x ∈
1
√ 2
, 1
,
alors
f (f (x)) − x < f
f
1
√
2
−
1
√ 2
= 0
et on a aussi f (f (x)) >
1
√ 2
pour x ∈
1
√ 2
, 1
car f est décroissante sur l’intervalle ]0 , 1[. Finalement,
1
√
2
< f(f (x)) < x pour x ∈
1
√ 2
, 1
.
Ceci signifie que la suite {S 2n−1 } est décroissante et minorée, donc convergente
et sa limite est
1
√
2
. De plus, lim
n→+∞
S 2n = lim
n→+∞
f (S 2n−1 ) = f
1
√ 2
=
1
√ 2
. La
somme de la série est donc égale à
1
√
2
.
III.1.32.
(a) On remarque que
S n = 1 −
1
2
+
1
3
− . . . −
1
2n
= 1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
2n
−
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
n
=
1
n + 1
+
1
n + 2
+ . . . +
1
2n
.
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