Chapitre III. Séries de nombres réels
(c) La formule de Moivre implique pour m = 4n (n ∈ N ∗ ),
cos mt = cos
m t −
m
2
cos
m−2 t sin
2 t + . . . + sin
m t,
sin mt =
m
1
cos
m−1 t sin t + . . . −
m
m − 1
cos t sin
m−1 t
et, en conséquence,
cotan mt =
cotan m t −
m
2
cotan m−2 t + . . . −
m
m−2
cotan 2 t + 1
m
1
cotan m−1 t −
m
3
cotan m−3 t + . . . −
m
m−1
cotan t
.
Il découle de cette dernière égalité que les
x k = cotan
4kπ + π
4m
(k = 0, . . . , m − 1)
sont les racines de l’équation
x
m
−
m
1
x
m−1
−
m
2
x
m−2
+ . . . +
m
m − 1
x + 1 = 0,
ce qui implique
m−1
k=0
cotan
4kπ + π
4m
= m.
(1)
Puisque m = 4n,
m−1
k=0
cotan
4kπ + π
4m
=
2n−1
k=0
cotan
4kπ + π
4m
+
m−1
k=2n
cotan
4kπ + π
4m
=
2n−1
k=0
cotan
4kπ + π
4m
−
2n
k=1
cotan
4kπ − π
4m
.
Ceci et (1) donnent
cotan
π
4m
− cotan
3π
4m
+ cotan
5π
4m
− cotan
7π
4m
(2)
+ . . . + cotan
(2m − 3)π
4m
− cotan
(2m − 1)π
4m
= m.
Puisque
cotan α − cotan β = tan(α − β)
1 +
1
tan α tan β
,
on déduit de (2) que
m = tan
π
2m
m
2
+
1
tan
π
4m tan
3π
4m
+ . . . +
1
tan
(2m−3)π
4m
tan
(2m−1)π
4m
.
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