Chapitre I. Nombres réels
I.2.44. Prouver que si a k > 0 (k = 1, 2, . . . , n) et
n
k=1
1
1+a k
= n − 1, alors
n
k=1
1
a k
(n − 1)
n .
I.2.45. Montrer que, sous les hypothèses de I.2.43, on a
n
k=1
(1 + a k )
(n + 1)
n
n
k=1
(1 − a k )
(n − 1)
n
n > 1.
I.2.46. Montrer que
a 1
a 2 + a 3
+
a 2
a 3 + a 4
+ . . . +
a n−2
a n−1 + a n
+
a n−1
a n + a 1
+
a n
a 1 + a 2
n
4
pour a 1 , a 2 , . . . , a n strictement positifs.
I.2.47. Soit t et a 1 , a 2 , . . . , a n des réels. Établir l’inégalité
n
k=1
|a k − t|
2 k
n
k=2
|a k − a 1 |
2 k
.
I.2.48. Prouver que si a 1 , a 2 , . . . , a n et b 1 , b 2 , . . . , b n sont des réels strictement
positifs, on a
n
(a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) · · · (a n + b n )
n
√ a 1 a 2 · · · a n +
n
b 1 b 2 · · · b n .
I.2.49. On suppose que 0 < a 1 < a 2 < . . . < a n et que p 1 , p 2 , . . . , p n sont positifs
et tels que
n
k=1
p k = 1. Établir l’inégalité (1)
n
k=1
p k a k
n
k=1
p k
1
a k
A 2
G 2 ,
où A =
1
2 (a 1 + a n ) et G =
√ a 1 a n .
I.2.50. Pour n ∈ N ∗ , on note σ(n) la somme des diviseurs positifs de n et τ (n)
le nombre de ces diviseurs. Prouver que
σ(n)
τ (n)
√
n.
(1) Inégalité de Kantorovich. (N.d.T.)
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