Énoncés
I.2.38. Pour a k > 0 (k = 1, 2, . . . , n), on pose a = a 1 + a 2 + . . . + a n . Prouver
que
n−1
k=1
a k a k+1
a 2
4
.
I.2.39. Montrer que, pour tout arrangement b 1 , b 2 , . . . , b n des réels strictement
positifs a 1 , a 2 , . . . , a n , on a
a 1
b 1
+
a 2
b 2
+ . . . +
a n
b n
n.
I.2.40. Prouver les inégalités de Weierstrass : si 0 < a k < 1 (k = 1, 2, . . . , n) et
a 1 + a 2 + . . . + a n < 1, alors
(a)
1 +
n
k=1
a k <
n
k=1
(1 + a k ) <
1
1 −
n
k=1
a k
,
(b)
1 −
n
k=1
a k <
n
k=1
(1 − a k ) <
1
1 +
n
k=1
a k
.
I.2.41. On suppose que 0 < a k < 1 (k = 1, 2, . . . , n) et on pose a = a 1 + a 2 +
. . . + a n . Prouver que
n
k=1
a k
1 − a k
na
n − a
.
I.2.42. Soit 0 < a k 1 (k = 1, 2, . . . , n) et n 2. Vérifier l’inégalité
n
k=1
1
1 + a k
n
n
k=1
a k
n
k=1
a k + n
n
k=1
a k
.
I.2.43. Pour des a k positifs (k = 1, 2, . . . , n) tels que a 1 + a 2 + . . . + a n = 1,
prouver que
(a)
n
k=1
(1 + a k ) (n + 1)
n
n
k=1
a k ,
(b)
n
k=1
(1 − a k ) (n − 1)
n
n
k=1
a k .
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