Chapitre I. Nombres réels
I.2.32. Pour c 1 , c 2 , . . . , c n des réels strictement positifs et k 1 , k 2 , . . . , k n ∈ N ∗ ,
on pose
S = max
k 1
√ c 1 ,
k 2
√
c 2 , . . . ,
kn √ c n
,
s = min
k 1
√ c 1 ,
k 2
√ c 2 , . . . ,
kn √ c n
.
Prouver que
s (c 1 c 2 · · · c n )
1
k 1 +k 2 +...+kn S.
I.2.33. Pour a k > 0 et b k > 0 (k = 1, 2, . . . , n), on pose
M = max
a k
b k
: k = 1, 2, . . . , n
.
Montrer que
a 1 + a 2
2 + . . . + a n
n
b 1 + Mb 2
2 + . . . + M n−1 b n
n
M.
I.2.34. Prouver que si x est strictement supérieur à n’importe lequel des
nombres a 1 , a 2 , . . . , a n , alors
1
x − a 1
+
1
x − a 2
+ . . . +
1
x − a n
n
x −
a 1 +a 2 +...+an
n
.
I.2.35. On note c k =
n
k
, k = 0, 1, 2, . . . , n, les coefficients du binôme de Newton. Établir l’inégalité
√ c 1 +
√ c 2 + . . . +
√ c n
n (2 n − 1) .
I.2.36. Pour n 2, montrer que
n
k=0
n
k
2 n − 2
n − 1
n−1
.
I.2.37. Soit a k > 0 (k = 1, 2, . . . , n) et A n leur moyenne arithmétique. Prouver
que, pour tout entier p > 1, on a
n
k=1
A
p
k
p
p − 1
n
k=1
A
p−1
k a k .
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