Énoncés
I.2.26. En supposant que a k 0 (k = 1, 2, . . . , n), démontrer que
1
n
n
k=1
a k
p
1
n
n
k=1
a
p
k .
I.2.27. Établir l’inégalité
(a + b)
2
(1 + c)a
2
+
1 +
1
c
b
2
pour c strictement positif, a et b étant des réels quelconques.
I.2.28. Prouver que
√
a 2 + b 2 −
√
a 2 + c 2
|b − c|.
I.2.29. Pour a, b et c strictement positifs, vérifier les propositions suivantes :
(a)
bc
a
+
ac
b
+
ab
c
a + b + c,
(b)
1
a
+
1
b
+
1
c
1
√
bc
+
1
√
ca
+
1
√
ab
,
(c)
2
b + c
+
2
c + a
+
2
a + b
9
a + b + c
,
(d)
b 2 − a 2
c + a
+
c 2 − b 2
a + b
+
a 2 − c 2
b + c
0,
(e)
1
8
(a − b)
2
a
a + b
2
−
√
ab
1
8
(a − b)
2
b
pour b a.
I.2.30. Pour a k ∈ R et b k > 0 (k = 1, 2, . . . , n), on pose
m = min
a k
b k
: k = 1, 2, . . . , n
et M = max
a k
b k
: k = 1, 2, . . . , n
.
Démontrer que
m
a 1 + a 2 + . . . + a n
b 1 + b 2 + . . . + b n
M.
I.2.31. Démontrer que si 0 < α 1 < α 2 < . . . < α n <
π
2 (n > 1), alors
tan α 1 <
sin α 1 + sin α 2 + . . . + sin α n
cos α 1 + cos α 2 + . . . + cos α n
< tan α n .
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