Chapitre I. Nombres réels
I.2.19. Prouver que
n
k=1
a
p
k
2
n
k=1
a
p+q
k
n
k=1
a
p−q
k ,
pour tout couple de réels p, q et tous nombres strictement positifs a 1 , a 2 , . . . , a n .
I.2.20. Trouver le minimum de la somme
n
k=1
a 2
k sous la contrainte
n
k=1
a k = 1.
I.2.21. Soit p 1 , p 2 , . . . , p n des réels strictement positifs. Trouver le minimum de
n
k=1
p k a 2
k sous la contrainte
n
k=1
a k = 1.
I.2.22. Montrer que
n
k=1
a k
2
(n − 1)
n
k=1
a
2
k + 2a 1 a 2
.
I.2.23. Vérifier les propositions suivantes :
(a)
n
k=1
(a k + b k )
2
1
2
n
k=1
a
2
k
1
2
+
n
k=1
b
2
k
1
2
,
(b)
n
k=1
a
2
k
1
2
−
n
k=1
b
2
k
1
2
n
k=1
|a k − b k |.
I.2.24. Soit p 1 , p 2 , . . . , p n des réels strictement positifs. Déterminer le minimum de
n
k=1
a
2
k +
n
k=1
a k
2
sous la contrainte
n
k=1
p k a k = 1.
I.2.25. Démontrer l’inégalité de Tchebychev suivante : si a 1 a 2 . . . a n et
b 1 b 2 . . . b n (ou a 1 a 2 . . . a n et b 1 b 2 . . . ≤ b n ), alors
n
k=1
a k
n
k=1
b k n
n
k=1
a k b k .
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