Énoncés
I.2.13. Montrer que
⎛
⎝
n
k=1
a k
2
+
n
k=1
b k
2
⎞
⎠
1
2
n
k=1
a
2
k + b
2
k
1
2 .
I.2.14. Prouver que si
n
k=1
a 2
k =
n
k=1
b 2
k = 1, alors
n
k=1
a k b k
1.
I.2.15. Pour a k > 0 (k = 1, 2, . . . , n), vérifier les propositions suivantes :
(a)
n
k=1
a k
n
k=1
1
a k
n
2 ,
(b)
n
k=1
a k
n
k=1
1 − a k
a k
n
n
k=1
(1 − a k ),
(c) (log a a 1 )
2
+ (log a a 2 )
2
+ . . . + (log a a n )
2
1
n
si a 1 a 2 . . . a n = a = 1.
I.2.16. Pour α > 0, démontrer que
n
k=1
a k b k
1
α
n
k=1
a
2
k +
α
4
n
k=1
b
2
k .
I.2.17. Établir les inégalités suivantes :
n
k=1
|a k |
√
n
n
k=1
a
2
k
1
2
√
n
n
k=1
|a k | .
I.2.18. Montrer que
(a)
n
k=1
a k b k
2
n
k=1
ka
2
k
n
k=1
b 2
k
k
,
(b)
n
k=1
a k
k
2
n
k=1
k
3 a
2
k
n
k=1
1
k 5 .
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