Chapitre I. Nombres réels
I.2.7. Soit {a n } une suite arithmétique à termes strictement positifs. Prouver
que
√
a 1 a n
n
√ a 1 a 2 · · · a n
a 1 + a n
2
.
I.2.8. Montrer que
√
n
n
√
n!
n + 1
2
, n ∈ N
∗ .
I.2.9. Soit a k (k = 1, 2, . . . , n) des réels strictement positifs tels que
n
k=1
a k 1.
Montrer que
n
k=1
1
a k
n
2 .
I.2.10. Soit a k > 0, k = 1, 2, . . . , n et n > 1, on pose s =
n
k=1
a k . Vérifier les
propositions suivantes :
(a)
n
n
k=1
a k
s − a k
−1
n − 1
1
n
n
k=1
s − a k
a k
,
(b)
n
k=1
s
s − a k
n 2
n − 1
,
(c)
n
n
k=1
a k
s + a k
−1
n + 1.
I.2.11. Prouver que si a k > 0 (k = 1, 2, . . . , n) et a 1 a 2 · · · a n = 1, alors
(1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + a n ) 2
n .
I.2.12. Démontrer l’inégalité de Cauchy suivante :
n
k=1
a k b k
2
n
k=1
a
2
k
n
k=1
b
2
k .
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