Énoncés
Remarque. On note que si a 1 = a 2 = . . . = a n = a, on obtient alors l’inégalité
bien connue de Bernoulli : (1 + a)
n
1 + na, a > −1.
I.2.2. Prouver le résultat suivant par récurrence : si a 1 , a 2 , . . . , a n sont des réels
strictement positifs tels que a 1 a 2 · · · a n = 1, alors a 1 + a 2 + . . . + a n n.
I.2.3. On note respectivement A n , G n et H n les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique des n nombres réels strictement positifs a 1 , a 2 , . . . , a n ,
soit
A n =
a 1 + a 2 + . . . + a n
n
,
G n =
n
√
a 1 × a 2 × . . . × a n ,
H n =
n
1
a 1
+
1
a 2
+ . . . +
1
an
.
Démontrer que A n G n H n .
I.2.4. Établir, en utilisant le résultat du problème précédent (A n G n ), l’inégalité de Bernoulli
(1 + x)
n
1 + nx pour x > 0.
I.2.5. Vérifier, pour n ∈ N ∗ , les propositions suivantes :
(a)
1
n
+
1
n + 1
+
1
n + 2
+ . . . +
1
2n
>
2
3
,
(b)
1
n + 1
+
1
n + 2
+
1
n + 3
+ . . . +
1
3n + 1
> 1,
(c)
1
2
<
1
3n + 1
+
1
3n + 2
+ . . . +
1
5n
+
1
5n + 1
<
2
3
,
(d) n
n
√
n + 1 − 1
< 1 +
1
2
+ . . . +
1
n
< n
1 −
1
n
√
n + 1
+
1
n + 1
, n > 1.
I.2.6. Montrer que, pour tout x > 0 et n ∈ N ∗ , on a
x n
1 + x + x 2 + x 3 + . . . + x 2n
1
2n + 1
.
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