Chapitre I. Nombres réels
I.1.21. Prouver que l’ensemble {sin n : n ∈ N ∗ } est dense dans [−1 , 1].
I.1.22. Appliquer le résultat de I.1.20 pour prouver que, pour tout nombre
irrationnel x, il existe une suite
pn
qn
de nombres rationnels, q n étant impair,
telle que
x −
p n
q n
<
1
q 2
n
.
(Comparer avec I.1.14.)
I.1.23. Démontrer la formule suivante donnant la différence entre deux réduites
successives :
R n+1 − R n =
(−1) n
q n q n+1
.
I.1.24. Soit x un nombre irrationnel. Prouver que ses réduites R n définies en
I.1.20 sont de plus en plus proches de x, autrement dit,
|x − R n+1 | < |x − R n | , n ∈ N.
I.1.25. Prouver que la réduite R n = p n /q n est la meilleure approximation de
x par une fraction de dénominateur q n ou moins. Autrement dit : si r/s est un
rationnel de dénominateur strictement positif tel que |x − r/s| < |x − R n |, alors
s > q n .
I.1.26. Développer chacun des nombres suivants en une fraction continue infinie :
√ 2,
√ 5−1
2 .
I.1.27. Pour un entier k strictement positif, déterminer le développement de
√
k 2 + k en fraction continue infinie.
I.1.28. Trouver tous les x ∈ ]0 , 1[ pour lesquels a 1 dans le développement en
fractions continues (voir le problème I.1.20) est égal à un entier n strictement
positif donné.
I.2. Quelques inégalités élémentaires
I.2.1. Prouver que si les a k > −1 (k = 1, . . . , n) sont de même signe, on a alors
(1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + a n ) 1 + a 1 + a 2 + . . . + a n .
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I.1.21. Prouver que l’ensemble {sin n : n ∈ N ∗ } est dense dans [−1 , 1].
I.1.22. Appliquer le résultat de I.1.20 pour prouver que, pour tout nombre
irrationnel x, il existe une suite
pn
qn
de nombres rationnels, q n étant impair,
telle que
x −
p n
q n
<
1
q 2
n
.
(Comparer avec I.1.14.)
I.1.23. Démontrer la formule suivante donnant la différence entre deux réduites
successives :
R n+1 − R n =
(−1) n
q n q n+1
.
I.1.24. Soit x un nombre irrationnel. Prouver que ses réduites R n définies en
I.1.20 sont de plus en plus proches de x, autrement dit,
|x − R n+1 | < |x − R n | , n ∈ N.
I.1.25. Prouver que la réduite R n = p n /q n est la meilleure approximation de
x par une fraction de dénominateur q n ou moins. Autrement dit : si r/s est un
rationnel de dénominateur strictement positif tel que |x − r/s| < |x − R n |, alors
s > q n .
I.1.26. Développer chacun des nombres suivants en une fraction continue infinie :
√ 2,
√ 5−1
2 .
I.1.27. Pour un entier k strictement positif, déterminer le développement de
√
k 2 + k en fraction continue infinie.
I.1.28. Trouver tous les x ∈ ]0 , 1[ pour lesquels a 1 dans le développement en
fractions continues (voir le problème I.1.20) est égal à un entier n strictement
positif donné.
I.2. Quelques inégalités élémentaires
I.2.1. Prouver que si les a k > −1 (k = 1, . . . , n) sont de même signe, on a alors
(1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + a n ) 1 + a 1 + a 2 + . . . + a n .
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