Énoncés
de façon plus pratique sous la forme
a 0 +
1|
|a 1
+
1|
|a 2
+ . . . +
1|
|a n
.
I.1.18. Pour des réels strictement positifs a 1 , a 2 , . . . , a n , on pose
p 0 = a 0 ,
q 0 = 1,
p 1 = a 0 a 1 + 1,
q 1 = a 1 ,
p k = p k−1 a k + p k−2 ,
q k = q k−1 a k + q k−2 , avec k = 2, 3, . . . , n
et on définit
R 0 = a 0 , R k = a 0 +
1|
|a 1
+
1|
|a 2
+ . . . +
1|
|a k
, k = 1, 2, . . . , n.
La fraction R k est appelée la k-ième réduite de a 0 +
1|
|a 1
+
1|
|a 2
+ . . . +
1|
|an . Montrer
que
R k =
p k
q k
pour k = 0, 1, . . . , n.
I.1.19. Montrer que si p k et q k sont définis comme dans le problème précédent
et si a 0 , a 1 , . . . , a n sont des entiers, alors
p k−1 q k − q k−1 p k = (−1)
k
pour k = 1, 2, . . . , n.
Utiliser cette égalité pour conclure que p k et q k sont premiers entre eux.
I.1.20. Pour un nombre irrationnel x, on définit la suite {x n } par
x 1 =
1
x − [x]
, x 2 =
1
x 1 − [x 1 ]
, . . . , x n =
1
x n−1 − [x n−1 ]
, . . .
On pose de plus a 0 = [x], a n = [x n ] (n ∈ N ∗ ) et
R n = a 0 +
1|
|a 1
+
1|
|a 2
+ . . . +
1|
|a n
.
Prouver que la différence entre le nombre x et sa n-ième réduite est donnée par
x − R n =
(−1) n
(q n x n+1 + q n−1 ) q n
,
où p n , q n sont définis en I.1.18. En déduire que x se trouve toujours entre deux
réduites successives.
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