Chapitre I. Nombres réels
I.1.14. Démontrer que, pour tout nombre irrationnel α et pour tout entier strictement positif n, il existe un entier strictement positif q n et un entier p n tels que
α −
p n
q n
<
1
nq n
.
Montrer aussi que l’on peut choisir {p n } et {q n } de telle sorte que l’on ait
α −
p n
q n
<
1
q 2
n
.
I.1.15. Soit α un nombre irrationnel. Prouver que A = {m + nα : m, n ∈ Z}
est dense dans R, autrement dit, que tout intervalle ouvert non-vide contient un
élément de A.
I.1.16. Montrer que {cos n : n ∈ N ∗ } est dense dans [−1 , 1].
I.1.17. Soit x ∈ R \ Z. On définit la suite {x n } en posant
x = [x] +
1
x 1
, x 1 = [x 1 ] +
1
x 2
, . . . , x n−1 = [x n−1 ] +
1
x n
.
On a alors
x = [x] +
1
[x 1 ] +
1
[x 2 ] +
1
. . . +
1
[x n−1 ] +
1
x n
.
Prouver que x est rationnel si et seulement s’il existe n ∈ N ∗ tel que x n soit un
entier.
Remarque. La représentation de x ci-dessus s’appelle une fraction continue finie. On écrira aussi l’expression
a 0 +
1
a 1 +
1
a 2 +
1
. . . +
1
a n−1 +
1
a n
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