Énoncés
I.1.9. Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de l’ensemble des
nombres de la forme
(n+m)
2
2 nm , où n, m ∈ N ∗ .
I.1.10. Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure des ensembles suivants :
(a) A =
m
n
: m, n ∈ N ∗ , m < 2n
,
(b) B = {
√
n − [
√
n ] : n ∈ N ∗ }.
I.1.11. Trouver
(a) sup
x ∈ R : x 2 + x + 1 > 0
,
(b) inf
z = x + x −1 : x > 0
,
(c) inf
z = 2 x + 2
1
x : x > 0
.
I.1.12. Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure des ensembles suivants :
(a) A =
m
n
+
4n
m
: m, n ∈ N ∗
,
(b) B =
mn
4m 2 + n 2 : m ∈ Z, n ∈ N ∗
,
(c) C =
m
m + n
: m, n ∈ N ∗
,
(d) D =
m
|m| + n
: m ∈ Z, n ∈ N ∗
,
(e) E =
mn
1 + m + n
: m, n ∈ N ∗
.
I.1.13. Soit n 3 un entier. On considère toutes les suites finies possibles
(a 1 , . . . , a n ) de réels strictement positifs. Déterminer la borne supérieure et la
borne inférieure de l’ensemble des nombres de la forme
n
k=1
a k
a k + a k+1 + a k+2
,
où l’on pose a n+1 = a 1 et a n+2 = a 2 .
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