Chapitre I. Nombres réels
I.1.4. Étant donné A et B deux ensembles de réels strictement positifs, on
définit
A · B = {z = x × y : x ∈ A, y ∈ B},
1
A
=
z =
1
x
: x ∈ A
.
Montrer que
sup (A · B) = sup A × sup B.
Montrer aussi que si inf A > 0, alors
sup
1
A
=
1
inf A
et si inf A = 0, alors sup
1
A
= +∞. De plus, si A et B sont des ensembles
bornés de réels, alors
sup (A · B) = max {sup A × sup B, sup A × inf B, inf A × sup B, inf A × inf B} .
I.1.5. Soit A et B des ensembles non vides de réels. Montrer que
sup (A ∪ B) = max {sup A, sup B}
et
inf (A ∪ B) = min {inf A, inf B} .
I.1.6. Trouver la borne supérieure et la borne inférieure des ensembles A 1 et
A 2 définis par
A 1 =
2 (−1)
n+1
+ (−1)
n(n+1)
2
2 +
3
n
: n ∈ N
∗
,
A 2 =
n − 1
n + 1
cos
2nπ
3
: n ∈ N
∗
.
I.1.7. Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure des ensembles A
et B où A = {0,2 ; 0,22 ; 0,222 ; . . .} et B est l’ensemble des fractions décimales
comprises entre 0 et 1 dont les seuls chiffres sont des 0 et des 1.
I.1.8. Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de l’ensemble des
nombres de la forme
(n+1)
2
2 n , où n ∈ N ∗ .
2