I
NOMBRES RÉELS
Énoncés
I.1. Borne supérieure et borne inférieure
d’ensembles de nombres réels, fractions continues
I.1.1. Montrer que
sup
x ∈ Q : x > 0, x
2 < 2
=
√
2.
I.1.2. Soit A ⊂ R un ensemble non vide. On pose −A = {x : −x ∈ A}. Montrer
que
sup (−A) = − inf A,
inf (−A) = − sup A.
I.1.3. Soit A, B ⊂ R deux ensembles non vides. On pose
A + B = {z = x + y : x ∈ A, y ∈ B} ,
A − B = {z = x − y : x ∈ A, y ∈ B} .
Prouver que
sup (A + B) = sup A + sup B,
sup (A − B) = sup A − inf B.
Établir des formules semblables pour inf (A + B) et inf (A − B).
NOMBRES RÉELS
Énoncés
I.1. Borne supérieure et borne inférieure
d’ensembles de nombres réels, fractions continues
I.1.1. Montrer que
sup
x ∈ Q : x > 0, x
2 < 2
=
√
2.
I.1.2. Soit A ⊂ R un ensemble non vide. On pose −A = {x : −x ∈ A}. Montrer
que
sup (−A) = − inf A,
inf (−A) = − sup A.
I.1.3. Soit A, B ⊂ R deux ensembles non vides. On pose
A + B = {z = x + y : x ∈ A, y ∈ B} ,
A − B = {z = x − y : x ∈ A, y ∈ B} .
Prouver que
sup (A + B) = sup A + sup B,
sup (A − B) = sup A − inf B.
Établir des formules semblables pour inf (A + B) et inf (A − B).