Solutions
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I.1. Borne supérieure et borne inférieure
d’ensembles de nombres réels, fractions continues
I.1.1. Soit A =
x ∈ Q : x > 0, x 2 < 2
et s = sup A. On peut supposer
que s > 1. On va prouver que, pour tout entier strictement positif n, on a
s −
1
n
2
2
s +
1
n
2
.
(1)
Puisque s −
1
n n’est pas un majorant de A, il existe x ∗ ∈ A tel que s −
1
n < x ∗ .
Donc,
s −
1
n
2
< (x
∗
)
2 < 2.
Supposons que
s +
1
n
2 < 2. Si s est rationnel, alors s+
1
n ∈ A et s+
1
n > s, ce
qui contredit le fait que s = sup A. Si s est irrationnel, alors w =
[(n+1)s]
n+1 +
1
n+1
est un nombre rationnel tel que s < w < s+
1
n . Donc, w 2 <
s +
1
n
2 et w ∈ A,
contradiction. On a ainsi prouvé que
s +
1
n
2 2. L’inégalité de gauche de
(1) implique s 2 −
2s
n < s 2 −
2s
n +
1
n 2 2, ce qui donne
s 2 −2
2s <
1
n . En faisant
tendre n vers +∞, on obtient s 2 − 2 0.
Comme ci-dessus, l’inégalité de droite de (1) donne
s 2 −2
3s
−
1
n ce qui
implique s 2 − 2 0. Donc, s 2 = 2.
I.1.2. On suppose que A est minoré et on pose a = inf A. On a alors
x a pour tout x ∈ A,
( 1 )
pour tout ε > 0, il existe x
∗
∈ A tel que x
∗ < a + ε.
( 2 )
En multipliant les inégalités données en (1) et (2) par −1, on obtient
x −a pour tout x ∈ (−A),
( 1 ’ )
pour tout ε > 0, il existe x
∗
∈ (−A) tel que x
∗ > −a − ε.
(2’)
Donc, −a = sup (−A). Si A n’est pas minoré, alors −A n’est pas majoré et
sup (−A) = − inf A = +∞. L’autre égalité s’obtient de la même façon.
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