Solutions
(b) Comme en (a),
f (x) = af (bx) + cg(x),
a
−1 f (b
−1 x) = f (x) + a
−1 cg(b
−1 x),
a
−2 f (b
−2 x) = a
−1 f (b
−1 x) + ca
−2 g(b
−2 x),
. . .
a
−n f (b
−n x) = a
1−n f (b
1−n x) + a
−n cg(b
−n x).
Donc,
af (bx) = a
−n f (b
−n x) − c
g(x) + a
−1 g(b
−1 x) + . . . + a
−n g(b
−n x)
et, en conséquence,
+∞
n=0
1
a n g
x
b n
=
M (x) − af (bx)
c
.
III.1.18. On peut appliquer le problème précédent aux fonctions f (x) = sin x
et g(x) = sin
3 x
3 avec a = 3, b =
1
3 et c = −4. Le résultat demandé se déduit
des égalités lim
n→+∞
3 n sin
x
3 n = x = L(x) et lim
n→+∞
3 −n sin 3 n x = 0 = M (x).
III.1.19. On peut appliquer III.1.17 à f (x) = cotan x, g(x) = tan x, a = 2,
b = 2 et c = 1 et utiliser l’égalité
lim
n→+∞
1
2 n cotan
x
2 n =
1
x
.
III.1.20. On applique III.1.17 à
f (x) = Arctan x,
g(x) = Arctan
(1 − b)x
1 + bx 2 ,
a= c = 1,
et on utilise la relation suivante :
lim
n→+∞
Arctan(b
n x) =
0
pour 0 < b < 1,
π
2
sgn x pour b > 1.
III.1.21. Puisque a n+1 = a n + a n−1 , on a a n+1 a n = a 2
n + a n−1 a n pour n 1.
En additionnant membre à membre ces égalités, on obtient
S n = a n a n+1 , n 0.
(∗)
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