Chapitre III. Séries de nombres réels
On peut prouver par récurrence (voir II.2.25) que
a n =
1
√ 5
⎛
⎝
1 +
√ 5
2
n+1
−
1 −
√ 5
2
n+1
⎞
⎠ , n 0,
(i)
a n−1 a n+1 − a
2
n = (−1)
n+1 , n 1.
(ii)
La combinaison de (∗) et (ii) donne
S n =
n
k=0
(−1)
k
S k
=
n
k=0
(−1)
k
a k a k+1
= 1 −
n
k=1
a k−1 a k+1 − a 2
k
a k a k+1
= 1 −
n
k=1
a k−1
a k
−
a k
a k+1
=
a n
a n+1
.
D’après (i),
lim
n→+∞
a n
a n+1
= lim
n→+∞
1
√ 5
1+
√ 5
2
n+1 −
1−
√ 5
2
n+1
1
√ 5
1+
√ 5
2
n+2 −
1−
√ 5
2
n+2
=
2
1 +
√ 5
.
(iii)
Donc,
+∞
n=0
(−1)
n
Sn =
2
1+
√ 5
.
III.1.22. On vérifie facilement que
(−1)
n+1
= a n+1 a n+2 − a n a n+3 , n 0.
(∗)
Donc,
S n =
n
k=0
(−1)
k
a k a k+2
= −
n
k=0
a k+1 a k+2 − a k a k+3
a k a k+2
= −
n
k=0
a k+1
a k
−
a k+3
a k+2
= −3 +
a n+2
a n+1
+
a n+3
a n+2
.
On a alors lim
n→+∞
S n =
√ 5 − 2 d’après (iii) dans la solution du problème
précédent.
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