Chapitre III. Séries de nombres réels
On remarque alors que
0 < A n a n+1 = a 1
a 2 a 3 · · · a n+1
(a 2 + b)(a 3 + b) · · · (a n+1 + b)
= a 1
1
1 +
b
a 2
1 +
b
a 3
· · ·
1 +
b
a n+1
.
Donc, d’après I.2.1,
0 < A n a n+1 <
a 1
b
n+1
k=2
1
a k
et, par hypothèse, lim
n→+∞
A n a n+1 = 0. L’égalité (∗) entraîne alors
lim
n→+∞
S n =
A 1 (b + a 2 )
b
=
a 1
b
.
III.1.16. Avec la relation trigonométrique 4 cos 3 = cos 3x + 3 cos x, on obtient
4 cos
3 x = cos 3x + 3 cos x,
4 cos
3
3x = cos 3
2 x + 3 cos 3x,
4 cos
3
3
2 x = cos 3
3 x + 3 cos 3
2 x,
. . .
4 cos
3
3
n x = cos 3
n+1 x + 3 cos 3
n x.
En multipliant respectivement chaque membre de ces égalités par 1, −
1
3 ,
1
3 2 . . . ,
(−1)
n 1
3 n et en les additionnant, on obtient 4S n = 3 cos x + (−1)
n 1
3 n cos 3 n+1 x.
Donc, S =
3
4 cos x.
III.1.17.
(a) Par hypothèse,
f (x) = af (bx) + cg(x),
af (bx) = a
2 f (b
2 x) + acg(bx),
a
2 f (b
2 x) = a
3 f (b
3 x) + ca
2 g(b
2 x),
. . .
a
n−1 f (b
n−1 x) = a
n f (b
n x) + a
n−1 cg(b
n−1 x).
Donc, f (x) = a n f (b n x) + c(g(x) + ag(bx) + . . . + a n−1 g(b n−1 x)). Puisque
lim
n→+∞
a n f (b n x) = L(x), on a
+∞
n=0
a n g(b n x) =
f (x)−L(x)
c
.
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