Solutions
III.1.6. Puisque a n = sin
1
2 n+1 cos
3
2 n+1 =
1
2
sin
1
2 n−1 − sin
1
2 n
, on voit que
S =
1
2 sin 1.
III.1.7. On remarque que
1
n! (n 4 + n 2 + 1)
=
1
2
n
(n + 1)!((n + 1)n + 1)
−
n − 1
n!(n(n − 1) + 1)
+
1
(n + 1)!
.
Donc,
S n =
1
2
n
(n + 1)!((n + 1)n + 1)
+ 1 +
n
k=0
1
(k + 1)!
et, d’après II.5.6, on obtient S = lim
n→+∞
S n =
1
2 e.
III.1.8. On note que pour n > 1, on a
a n =
1
2
·
(2n + 1) − 1
3 × 5 × · · · × (2n + 1)
=
1
2
1
3 × 5 × · · · × (2n − 1)
−
1
3 × 5 × · · · × (2n + 1)
et a 1 =
1
3 . Il s’ensuit que
S n =
1
3
+
1
2
1
3
−
1
3 × 5 × · · · × (2n + 1)
,
ce qui implique le résultat demandé.
III.1.9. Comme dans la solution du problème précédent, on a
a n
(a 1 + 1)(a 2 + 1) · · · (a n + 1)
=
a n + 1 − 1
(a 1 + 1)(a 2 + 1) · · · (a n + 1)
=
1
(a 1 + 1)(a 2 + 1) · · · (a n−1 + 1)
−
1
(a 1 + 1)(a 2 + 1) · · · (a n + 1)
pour n > 1. D’où, S n = 1 −
1
(a 1 +1)(a 2 +1)···(an+1) .
III.1.10.
(a) Si on prend a n = n − 1 dans le problème précédent, on a g = +∞ et la
somme de la série est donc égale à 1.
(b) Ici, on prend a n = 2n − 1 et, comme en (a), la somme de la série est
égale à 1.
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