Chapitre III. Séries de nombres réels
III.1.3.
(a)
S n = ln 1 − ln 4 + ln 2 + ln 4 − ln 1 − ln 7 + ln 3 + ln 7 − ln 2
− ln 10 + . . . + ln n + ln(3n − 2) − ln(n − 1) − ln(3n + 1)
+ ln(n + 1) + ln(3n + 1) − ln n − ln(3n + 4) = ln
n + 1
3n + 4
.
Donc, S = ln
1
3 .
(b) S = ln 2.
III.1.4.
(a) On a
a n =
1
n(n + 1) · · · (n + m)
=
1
m
1
n(n + 1) · · · (n + m − 1)
−
1
(n + 1)(n + 2) · · · (n + m)
.
D’où, S n =
1
m
1
1×2×...×m −
1
(n+1)(n+2)···(n+m)
et S =
1
mm! .
(b) Puisque a n =
1
m
1
n −
1
n+m
, S =
1
m
1 +
1
2 + . . . +
1
m
.
(c) On a
n 2
(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
=
2
(n + 1)(n + 2)
−
1
(n + 3)(n + 4)
−
11
2
1
(n + 1)(n + 3)
−
1
(n + 2)(n + 4)
+
11
4
1
(n + 1)(n + 4)
−
1
(n + 2)(n + 3)
.
Comme en (b), après un calcul simple, on obtient S =
5
36 .
III.1.5.
(a) Pour n 5, on a
S n = sin
π
720
+ sin
π
360
+ sin
π
120
+ sin
π
30
+ sin
π
6
.
(b) On remarque que 0
ln n
n−ln n < 1 pour n ∈ N ∗ . Donc, S = 0.
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