Solutions
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III.1. Sommation de séries
III.1.1.
(a) On a a 1 = S 1 = 2 et a n = S n − S n−1 = −
1
n(n−1) , n > 1. On obtient donc
la série 2 −
+∞
n=2
1
n(n−1) dont la somme est égale à S = lim
n→+∞
S n = 1.
(b) Comme dans la solution de (a), on obtient a n =
1
2 n ,
+∞
n=1
1
2 n+1 = 1.
(c) Par un argument semblable, on a a n = Arctan n − Arctan(n − 1), d’où
tan a n =
1
n 2 −n+1
. Donc, a n = Arctan
1
n 2 −n+1
et
+∞
n=1
Arctan
1
n 2 −n+1
=
π
2 .
(d) a 1 = −1, a n = (−1)
n 2n−1
n(n−1) pour n > 1. De plus,
−1 +
+∞
n=2
(−1)
n 2n − 1
n(n − 1)
= 0.
III.1.2.
(a) On a a n =
1
n 2 −
1
(n+1)
2 . Donc, S n = 1 −
1
(n+1) 2 et S = lim
n→+∞
S n = 1.
(b) De même, a n =
1
8
1
(2n−1)
2 −
1
(2n+1)
2
, S n =
1
8
1 −
1
(2n+1)
2
et
S = lim
n→+∞
S n =
1
8 .
(c) a n =
√
n
√
n+1
−
√
n−1
√
n
. Donc, S n =
√
n
√
n+1
et S = lim
n→+∞
S n = 1.
(d) a n =
1
2
1
2n−1 −
1
2n+1
. Donc, S = lim
n→+∞
S n =
1
2 .
(e) a n =
√
n+1−
√
n
√
n(n+1)
=
1
√
n
−
1
√
n+1
. Donc, S = lim
n→+∞
S n = 1.
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