Chapitre III. Séries de nombres réels
III.8.37. En utilisant la formule de Moivre, établir les identités
(a)
sin x = x
+∞
n=1
1 −
x 2
n 2 π 2
,
(b)
cos x =
+∞
n=1
1 −
4x 2
(2n − 1) 2 π 2
.
III.8.38. Prouver la formule de Wallis en utilisant le résultat du problème précédent :
lim
n→+∞
(2n)!!
(2n − 1)!!
√
n
=
√
π.
III.8.39. Étudier la convergence des produits
(a)
+∞
n=1
1 +
x
n
e
−
x
n , x > −1,
(b)
+∞
n=1
1 +
1
n
x
1 +
x
n
, x > −1.
III.8.40. Prouver que le produit infini
+∞
n=1
(1 + a n ) est absolument convergent
si et seulement si tout réarrangement de ses facteurs ne change pas sa valeur.
III.8.41. Trouver la valeur du produit
1 +
1
2
1 +
1
4
. . .
1 +
1
2α
1 −
1
3
. . .
1 −
1
2β + 1
1 +
1
2α + 2
. . .
obtenu en réarrangeant les facteurs de
+∞
n=2
1 +
(−1)
n
n
de telle sorte que des blocs
de α facteurs plus grands que 1 alternent avec des blocs de β facteurs plus petits
que 1.
III.8.42. Prouver que l’on peut réarranger le produit infini convergent mais
pas absolument convergent
+∞
n=1
(1 + a n ), a n > −1, pour donner un produit dont la
valeur soit un réel strictement positif donné ou pour donner un produit divergeant
vers 0 ou vers +∞. (Comparer avec III.7.15.)
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