Énoncés
III.8.32. Vérifier les propositions suivantes pour |q| < 1 :
(a)
+∞
n=1
1 − q
2n
+∞
n=1
1 − q
2n−1
2 = 1 + 2
+∞
n=1
(−1)
n q
n 2 ,
(b)
+∞
n=1
1 − q
2n
+∞
n=1
1 + q
2n−1
2 = 1 + 2
+∞
n=1
q
n 2 ,
(c)
+∞
n=1
1 − q
2n
+∞
n=1
1 + q
2n
2 = 1 +
+∞
n=1
q
n 2 +n .
III.8.33. Pour x > 0, on définit la suite {a n } en posant
a 1 =
1
1 + x
, a n =
n
x + n
n−1
k=1
x − k
x + k
, n > 1.
Prouver que la série
+∞
n=1
a n converge et trouver sa somme.
III.8.34. Prouver que si le produit infini
+∞
n=1
(1+ca n ) converge pour deux valeurs
distinctes de c ∈ R ∗ , il converge alors pour tout c.
III.8.35. Prouver que si la série
+∞
n=1
a n
n
k=0
x
2
− k
2
converge en x = x 0 , x 0 /
∈ Z, elle converge alors pour tout x.
III.8.36. On note {p n } la suite croissante des nombres premiers.
(a) Prouver la formule de produit eulérien suivante :
+∞
n=1
1 −
1
p x
n
−1
=
+∞
n=1
1
n x pour x > 1.
(b) Prouver que la série
+∞
n=1
1
pn diverge (comparer avec III.2.72).
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