Chapitre III. Séries de nombres réels
III.8.27. Soit
+∞
n=1
(1 + a n ) un produit absolument convergent. Prouver que le
produit
+∞
n=1
(1 + a n x) est absolument convergent pour tout x ∈ R et peut être
développé en une série absolument convergente,
+∞
n=1
(1 + a n x) = 1 +
+∞
k=1
A k x
k ,
où
A k =
+∞
n 1 ,n 2 ,...,n k =1
n 1 a n 1 a n 2 . . . a n k .
III.8.28. Établir l’égalité
+∞
n=1
(1 + q
n x) = 1 +
+∞
n=1
q
n(n+1)
2
(1 − q)(1 − q 2 ) . . . (1 − q n )
x
n , |q| < 1.
III.8.29. Vérifiez l’identité
+∞
n=1
(1 + q
2n−1 x) = 1 +
+∞
n=1
q n 2
(1 − q 2 )(1 − q 4 ) . . . (1 − q 2n )
x
n , |q| < 1.
III.8.30. Soit
+∞
n=1
a n une série absolument convergente. Prouver que si x = 0,
alors
+∞
n=1
(1 + a n x)
1 +
a n
x
= B 0 +
+∞
n=1
B n
x
n
+
1
x n
,
où B n = A n + A 1 A n+1 + A 2 A n+2 + . . . (n ∈ N) et
+∞
n=1
(1 + a n x) = A 0 +
+∞
k=1
A k x
k (voir III.8.27).
III.8.31. Pour |q| < 1 et x = 0, établir l’identité
+∞
n=1
1 − q
2n
+∞
n=1
1 + q
2n−1 x
1 +
q 2n−1
x
= 1 +
+∞
n=1
q
n 2
x
n
+
1
x n
.
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