Énoncés
III.8.21. Montrer que
+∞
n=1
x n
(1 + x)(1 + x 2 ) . . . (1 + x n )
= 1 pour x > 1.
III.8.22. Soit a n = 0 pour n ∈ N ∗ . Prouver que le produit infini
+∞
n=1
a n converge
si et seulement si le critère de Cauchy suivant est vérifié. Pour tout ε > 0, il existe
un entier n 0 tel que
|a n a n+1 . . . a n+k − 1| < ε
pour tout n n 0 et k ∈ N ∗ .
III.8.23. Pour |x| < 1, vérifier la proposition suivante :
+∞
n=1
(1 + x
n
) =
1
+∞
n=1
(1 − x 2n−1 )
.
III.8.24. Le produit
+∞
n=1
(1 + a n ) est absolument convergent si
+∞
n=1
(1 + |a n |)
converge. Prouver que le produit
+∞
n=1
(1 + a n ) est absolument convergent si et
seulement si la série
+∞
n=1
a n est absolument convergente.
III.8.25. Prouver qu’un produit
+∞
n=1
(1 + a n ) absolument convergent est
convergent.
III.8.26. Prouver que si le produit
+∞
n=1
(1 + a n ) est absolument convergent, alors
+∞
n=1
(1 + a n ) = 1 +
+∞
n=1
a n +
+∞
n 1 ,n 2 =1
n 1 a n 1 a n 2
+ . . . +
+∞
n 1 ,n 2 ,...,n k =1
n 1 a n 1 a n 2 . . . a n k + . . .
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