Chapitre III. Séries de nombres réels
III.8.16. Soit
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
b n deux produits convergents à facteurs strictement
positifs. Étudier la convergence de
(a)
+∞
n=1
(a n + b n ),
(b)
+∞
n=1
a
2
n ,
(c)
+∞
n=1
a n b n ,
(d)
+∞
n=1
a n
b n
.
III.8.17. Montrer que pour x n ∈
0 ,
π
2
, n ∈ N ∗ , les produits
+∞
n=1
cos x n et
+∞
n=1
sin x n
x n
convergent si et seulement si la série
+∞
n=1
x 2
n converge.
III.8.18. Soit
+∞
n=1
a n une série convergente à termes strictement positifs. On
note S n sa n-ième somme partielle. Montrer que
a 1
+∞
n=2
1 +
a n
S n−1
=
+∞
n=1
a n .
III.8.19. Prouver que si le produit infini
+∞
n=1
(1 + a n ), a n > −1, converge vers P ,
alors la série
+∞
n=1
a n
(1 + a 1 )(1 + a 2 ) . . . (1 + a n )
converge aussi. De plus, si S est sa somme, alors S = 1 −
1
P .
III.8.20. On suppose que le produit infini
+∞
n=1
(1 + a n ), où a n > 0, n ∈ N
∗ ,
diverge. Prouver que
+∞
n=1
a n
(1 + a 1 )(1 + a 2 ) . . . (1 + a n )
= 1.
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