Énoncés
III.8.11. La convergence du produit
+∞
n=1
(1 + a n ) implique-t-elle celle des séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
a 2
n ?
Indication : considérez le produit
1 −
1
2 α
1 +
1
2 α +
1
2 2α
1 −
1
3 α
1 +
1
3 α +
1
3 2α
. . . ,
où
1
3 < α
1
2 .
III.8.12. Prouver la généralisation suivante du résultat donné en III.8.10. Pour
k 2, si les deux séries
+∞
n=1
a n −
1
2
a
2
n + . . . +
(−1)
k−1
k
a
k
n
et
+∞
n=1
|a n |
k+1
convergent, le produit
+∞
n=1
(1 + a n ) converge alors aussi.
III.8.13. Prouver que la convergence de
+∞
n=1
(1 + a n ) et de
+∞
n=1
a 2
n impliquent
celle de
+∞
n=1
a n .
III.8.14. Prouver que si les produits
+∞
n=1
(1+ a n ) et
+∞
n=1
(1− a n ) convergent, alors
les deux séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
a 2
n convergent aussi.
III.8.15. Soit {a n } une suite décroissante tendant vers 1. Le produit
a 1 ·
1
a 2
· a 3 ·
1
a 4
· a 5 . . .
est-il toujours convergent ?
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