Chapitre III. Séries de nombres réels
III.8.5. On pose
a 2n−1 =
1
√ n
+
1
n
,
a 2n = −
1
√
n
, n ∈ N
∗ .
Montrer que le produit infini
+∞
n=1
(1+ a n ) converge bien que la série
+∞
n=1
a n diverge.
III.8.6. Étudier la convergence des produits :
(a)
+∞
n=1
cos
1
n
,
(b)
+∞
n=1
n sin
1
n
,
(c)
+∞
n=1
tan
π
4
+
1
n
,
(d)
+∞
n=1
n ln
1 +
1
n
,
(e)
+∞
n=1
n
√
n ,
(f)
+∞
n=1
n 2
√
n .
III.8.7. On considère la série convergente
+∞
n=1
a n . Prouver que le produit infini
+∞
n=1
(1 + a n ) converge si et seulement si la série
+∞
n=1
a 2
n converge. Prouver aussi que
si la série
+∞
n=1
a 2
n diverge, alors le produit
+∞
n=1
(1 + a n ) diverge vers 0.
III.8.8. Soit {a n } une suite décroissante tendant vers 0. Prouver que le produit
+∞
n=1
(1 + (−1)
n a n ) converge si et seulement si la série
+∞
n=1
a 2
n converge.
III.8.9. Prouver que le produit
+∞
n=1
1 + (−1)
n+1 1
√
n
diverge bien que la série
+∞
n=1
(−1)
n+1 1
√
n
converge.
III.8.10. Démontrer que si les séries
+∞
n=1
a n −
1
2
a
2
n
et
+∞
n=1
|a n |
3
convergent toutes deux, le produit
+∞
n=1
(1 + a n ) converge alors aussi.
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