Énoncés
III.8. Produits infinis
III.8.1. Trouver la valeur de
(a)
+∞
n=2
1 −
1
n 2
,
(b)
+∞
n=2
n 3 − 1
n 3 + 1
,
(c)
+∞
n=1
cos
x
2 n , x = 2
m
π
2
+ kπ
, m ∈ N
∗ , k ∈ Z,
(d)
+∞
n=1
ch
x
2 n , x ∈ R,
(e)
+∞
n=0
1 + x
2 n
, |x| < 1,
(f)
+∞
n=1
1 +
1
n(n + 2)
,
(g)
+∞
n=1
a
(−1) n
n
, a > 0,
(h)
+∞
n=1
e
1
n
1 +
1
n
,
(i)
+∞
n=1
9n 2
9n 2 − 1
.
III.8.2. Étudier la convergence des produits infinis suivants :
(a)
+∞
n=2
1 +
(−1)
n
n
,
(b)
+∞
n=1
1 +
1
n
,
(c)
+∞
n=2
1 −
1
n
.
III.8.3. Soit a n 0, n ∈ N ∗ . Prouver que le produit infini
+∞
n=1
(1 + a n ) converge
si et seulement si la série
+∞
n=1
a n converge.
III.8.4. Soit a n 0, a n = 1 (n ∈ N ∗ ). Prouver que le produit infini
+∞
n=1
(1 − a n )
converge si et seulement si la série
+∞
n=1
a n converge.
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