Chapitre III. Séries de nombres réels
III.7.33. Montrer que la série double
+∞
i,k=1
ix ik est absolument convergente si
|x| < 1. Prouver de plus que
+∞
i,k=1
ix
ik
=
+∞
k=1
kx k
1 − x k =
+∞
n=1
σ(n)x
n ,
où σ(n) représente la somme des diviseurs positifs de n.
III.7.34. On note ζ(p) =
+∞
n=1
1
n p , p > 1, la fonction zêta de Riemann. On pose
S p =
+∞
n=2
1
n p = ζ(p) − 1, p > 1.
Prouver que
(a)
+∞
p=2
S p = 1,
(b)
+∞
p=2
(−1)
p S p =
1
2
.
III.7.35. Prouver le théorème de Goldbach suivant.
Si A = {k m : m, k = 2, 3, . . .}, alors
n∈A
1
n−1 = 1.
III.7.36. On note ζ la fonction zêta de Riemann (voir III.7.34). Prouver que
pour tout entier n 2,
ζ(2)ζ(2n − 2) + ζ(4)ζ(2n − 4) + . . . + ζ(2n − 2)ζ(2) =
n +
1
2
ζ(2n).
III.7.37. En utilisant le résultat du problème précédent, trouver la somme des
séries
+∞
n=1
1
n 6
et
+∞
n=1
1
n 8 .
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