Énoncés
(b)
+∞
i,k=1
1
i α k β , où α, β > 0,
(c)
+∞
i,k=1
1
(i + k)
p , où p > 0.
III.7.29. Trouver la somme des séries doubles suivantes :
(a)
+∞
i,k=2
1
(p + i)
k
, où p > −1,
(b)
+∞
i=2,k=1
1
(2k)
i ,
(c)
+∞
i,k=1
1
(4i − 1)
2k
.
III.7.30. Étant donné un tableau infini (b i,k ) i,k∈N ∗ , prouver qu’il existe une
unique série double
+∞
i,k=1
a i,k telle que
S m,n =
m
i=1
n
k=1
a i,k = b m,n , m,n ∈ N
∗ .
III.7.31. En prenant
b i,k = (−1)
i+k
1
2 i +
1
2 k
, i,k = 1, 2 . . .
dans le problème précédent, étudier la convergence de la série double correspondante
+∞
i,k=1
a i,k .
III.7.32. Montrer que la série double
+∞
i,k=1
x ik est absolument convergente si
|x| < 1. Utiliser ceci pour prouver que
+∞
i,k=1
x
ik
=
+∞
k=1
x k
1 − x k =
+∞
n=1
θ(n)x
n
= 2
+∞
n=1
x n 2
1 − x n +
+∞
n=1
x
n 2 ,
où θ(n) représente le nombre de diviseurs positifs de n.
221
(b)
+∞
i,k=1
1
i α k β , où α, β > 0,
(c)
+∞
i,k=1
1
(i + k)
p , où p > 0.
III.7.29. Trouver la somme des séries doubles suivantes :
(a)
+∞
i,k=2
1
(p + i)
k
, où p > −1,
(b)
+∞
i=2,k=1
1
(2k)
i ,
(c)
+∞
i,k=1
1
(4i − 1)
2k
.
III.7.30. Étant donné un tableau infini (b i,k ) i,k∈N ∗ , prouver qu’il existe une
unique série double
+∞
i,k=1
a i,k telle que
S m,n =
m
i=1
n
k=1
a i,k = b m,n , m,n ∈ N
∗ .
III.7.31. En prenant
b i,k = (−1)
i+k
1
2 i +
1
2 k
, i,k = 1, 2 . . .
dans le problème précédent, étudier la convergence de la série double correspondante
+∞
i,k=1
a i,k .
III.7.32. Montrer que la série double
+∞
i,k=1
x ik est absolument convergente si
|x| < 1. Utiliser ceci pour prouver que
+∞
i,k=1
x
ik
=
+∞
k=1
x k
1 − x k =
+∞
n=1
θ(n)x
n
= 2
+∞
n=1
x n 2
1 − x n +
+∞
n=1
x
n 2 ,
où θ(n) représente le nombre de diviseurs positifs de n.
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